2013年浙江省三角形中考数学试题专题解析

一、选择题

1.(2012浙江杭州3分)如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1.若OC∥BA，&angAOC=36°，则【 】

A.点B到AO的距离为sin54°　 　B.点B到AO的距离为tan36°

C.点A到OC的距离为sin36°sin54°　　D.点A到OC的距离为cos36°sin54°

【答案】C。

【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。

【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：

A、由于在Rt△ABO中&angAOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长。

∵AB∥OC，&there4&angBAO=&angAOC=36°。

在Rt△BOA中，∵&angAOB =90°，AB=1，

&there4BO=ABsin36°=sin36°。故本选项错误。

B、由A可知，选项错误。

C、如图，过A作AD&perpOC于D，则AD的长是点A到OC的距离。

在Rt△BOA中，∵&angBAO=36°，&angAOB=90°，&there4&angABO=54°。

&there4AO=AB&bull sin54°= sin54°。

在Rt△ADO中， AD=AO&bullsin36°=AB&bullsin54°&bullsin36°=sin54°&bullsin36°。故本选项正确。

D、由C可知，选项错误。

故选C。

3.(2012浙江湖州3分)如图，在Rt△ABC中，&angACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【 】

A.20 B.10 C.5 D.

【答案】C。

【考点】直角三角形斜边上的中线性质。

【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：

∵在Rt△ABC中，&angACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，

&there4CD= AB=5。故选C。

4. (2012浙江嘉兴、舟山4分)如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，&angA=90°，&angC=40°，则AB等于【 】米.

A. asin40° B. acos40° C. atan40° D.

【答案】C。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】∵△ABC中，AC=a米，&angA=90°，&angC=40°，

&there4AB=atan40°。故选C。

5. (2012浙江宁波3分)如图，在Rt△ABC中，&angC=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为【 】

A.4　　B.2 　　C. 　　D.

【答案】A。

【考点】锐角三角函数的定义。

【分析】∵cosB= ，&there4 。

又AB=6，&there4 。故选A。

二、填空题

1. (2012浙江湖州4分)如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若 ，则△ABC的边长是 ▲

【答案】12。

【考点】一元二次方程的应用(几何问题)，菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。#p#分页标题#e#

【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为 ， 。

∵所分成的都是正三角形，

&there4根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较短的对角线为 。

&there4黑色菱形的面积= 。

&there4 ，整理得，11x2-144x+144=0。

解得 (不符合题意，舍去)，x2=12。

所以，△ABC的边长是12。

2. (2012浙江、舟山嘉兴5分)如图，在Rt△ABC中，&angABC=90°，BA=BC.点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF.给出以下四个结论：

① ②点F是GE的中点③AF= AB④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是　 ▲ 　.

【答案】①③。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。

【分析】∵在Rt△ABC中，&angABC=90°，&there4AB&perpBC。

又∵AG&perpAB，&there4AG∥BC。&there4△AFG∽△CFB。&there4 。

∵BA=BC，&there4 。故①正确。

∵&angABC=90°，BG&perpCD，&there4&angDBE+&angBDE=&angBDE+&angBCD=90°。&there4&angDBE=&angBCD。

∵AB=CB，点D是AB的中点，&there4BD= AB= CB。&there4 。

又∵BG丄CD，&there4&angDBE=&angBCD。&there4在Rt△ABG中， 。

∵ ，&there4FG= FB。故②错误。

∵△AFG∽△CFB，&there4AF：CF=AG：BC=1：2。&there4AF= AC。

∵AC= AB，&there4AF= AB。故③正确。

设BD= a，则AB=BC=2 a，△BDF中BD边上的高= 。

&there4S△ABC= ， S△BDF

&there4S△ABC=6S△BDF，故④错误。

因此，正确的结论为①③。

三、解答题

1. (2012浙江丽水、金华6分)学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角&angABC=30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.

【答案】解：在Rt△ABC中，&angABC=30°，

&there4AC= AB=6，BC=ABcos&angABC=12× 。

∵斜坡BD的坡比是1：3，&there4CD= 。&there4AD=AC-CD=6- 。

答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6- )米。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD=AC-CD即可求解。

2. (2012浙江绍兴8分)如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角&angBAC为32°。

(1)求一楼于二楼之间的高度BC(精确到0.01米)

(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249。#p#分页标题#e#

【答案】解：(1)∵sin&angBAC= ，&there4BC=AB×sin32°=16.50×0.5299&asymp8.74米。

(2)∵tan32°= ，&there4级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225

∵电梯以每秒上升2级，&there410秒钟电梯上升了20级。

&there4小明上升的高度为：20×0.156225&asymp3.12米。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义 。

【分析】(1)直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。

(2)由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。

3. (2012浙江绍兴10分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。

应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD= AB，求&angAPB的度数。

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。

【答案】解：应用：①若PB=PC，连接PB，则&angPCB=&angPBC，

∵CD为等边三角形的高，&there4AD=BD，&angPCB=30°。

&there4&angPBD=&angPBC=30°，&there4PD= DB= AB。

与已知PD= AB矛盾，&there4PBC。

②若PA=PC，连接PA，同理可得PAC。

③若PA=PB，由PD= AB，得PD=AD =BD，&there4&angAPD=&angBPD=45°。&there4&angAPB=90°。

探究：∵BC=5，AB=3，&there4AC= 。

①若PB=PC，设PA= ，则 ，&there4 ，即PA= 。

②若PA=PC，则PA=2。

③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。

&there4PA=2或 。

【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。

【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出&angAPB=45°，然后即可求出&angAPB的度数。

探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。

4. (2012浙江绍兴12分)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本&ldquo目标与评定&rdquo中的一道思考题，进行了认真的探索。

【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米?

(1)请你将小明对&ldquo思考题&rdquo的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由 得方程 ，#p#分页标题#e#

解方程得x1= ，x2= ，

&there4点B将向外移动 米。

(2)解完&ldquo思考题&rdquo后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在&ldquo思考题&rdquo中，将&ldquo下滑0.4米&rdquo改为&ldquo下滑0.9米&rdquo，那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?

【问题二】在&ldquo思考题&rdquo中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗?为什么?

请你解答小聪提出的这两个问题。

【答案】解：(1) 0.8，﹣2.2(舍去)0.8。

(2)①不会是0.9米，理由如下：

若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，

∵ ，&there4该题的答案不会是0.9米。

②有可能。理由如下：

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，

则有 ，解得：x=1.7或x=0(舍去)。

&there4当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。

【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。

【分析】(1)直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可。

(2)把(1)中的0.4换成0.9可知原方程不成立设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入(1)中方程，求出x的值符合题意。

5. (2012浙江台州8分)如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角&angEAB为15°，码头D的俯角&angEAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC&perpBC，垂足为C，求码头B、D的距离(结果保留整数).

【答案】解：∵AE∥BC，&there4&angADC=&angEAD=45°。

又∵AC&perpCD，&there4CD=AC=50。

∵AE∥BC，&there4&angABC=&angEAB=15°。

又∵ ， &there4 。

&there4BD&asymp185.2﹣50&asymp135(米)。

答：码头B、D的距离约为135米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。

【分析】由&angEAB=15°，根据平行的性质，可得&angABC=&angEAB=15°。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由&angADC=&angEAD=45°可得CD=AC=50。从而由BD=BC-CD可求得B、D的距离。

6. (2012浙江台州12分)已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，&angABC=&angDBE，BD=BE.

(1)求证：△ABD≌△CBE

(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)证明：∵&angABC=&angDBE，&there4&angABC+&angCBD=&angDBE+&angCBD。&there4&angABD=&angCBE。

在△ABD与△CBE中，BA=BC，&angABD=&angCBE，BD=BE，

&there4△ABD≌△CBE(SAS) 。

(2)解：四边形BDEF是菱形。证明如下：

由(1)△ABD≌△CBE，&there4CE=AD。

∵点D是△ABC外接圆圆心，&there4DA=DB=DC。#p#分页标题#e#

又∵BD=BE，&there4BD=BE=CE=CD。

&there4四边形BDCE是菱形。

【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，菱形的判定。

【分析】(1)由&angABC=&angDBE，根据等量加等量和相等，得&angABD=&angCBE，从而根据SAS即可证得结论。

(2)由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和(1)的结论，得到四边形四边相等，从而得出结论。

7. (2012浙江温州9分)某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=40米,B在C的北偏东35°方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处?请说明理由.

(参考数据：sin55°&asymp0.82,cos55°&asymp0.57,tan55°&asymp1.43)

8. (2012浙江义乌6分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明.你添加的条件是　 .(不添加辅助线).

【答案】解：添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或&angECD=&angDBF或&angDEC=&angDFB等)。

以添加DE=DF证明：

在△BDF和△CDE中，

∵BD=CD(已知)，&angEDC=&angFDB(对项角相等)，DE=DF(添加)，

&there4△BDF≌△CDE(SAS)。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】由已知BD=CD，又&angEDC﹦&angFDB，因为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASAA或AAS，故添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或&angECD=&angDBF或&angDEC=&angDFB等)。