问题研究性教学模式的设计与探索*
赵梅
内容提要：本文从数学思维的方法论方面，阐述了问题研究性教学对培养学生数学思维和创造力的重要性，提出了设计问题研究性教学模式的方法和原则，以及在组织、形式和手段等方面应注意的事项，给出了相应的教学案例.
主题词：问题，研究性，教学模式
研究性学习是当前教学改革关注的热门话题，所谓研究性学习就是在教学过程中创设一种类似科学研究情景或途径，让学生在教师指导下，从学生生活及社会生活中去选择和确定研究专题，用类似的科学研究的方式，主动地探索、发现和体验，在研究的过程中学会对信息进行收集分析和判断，去获取知识、应用知识，解决问题，从而增强思考力和创造力，培养创新精神和实践能力.而对学生各种能力的培养，其核心是数学思维能力的培养。研究性教学模式分为问题研究性模式和自主研究性模式两种，本文从数学思维方法论的角度就问题研究性教学模式的设计方法谈谈自己的设想和实践.
问题研究性模式的结构：问题 研究 完善 结构.“问题是数学的心脏”，数学的发展总是伴随着问题的产生和问题的解决，把新的知识设计成研究性问题是问题研究性模式的起点和关键.研究是探求事物的真相、性质、规律等活动，而且是一种解决问题的活动。研究的过程是指学生在已有知识和经验的基础上，通过自己的独立观察和感知，运用比较、分析、综合、抽象和概括、归纳、联想、演绎等思维方法.完善是研究过程的继续和深化.学生的分析、猜想、推理和发现可能有误，不精简、不全面，通过自由讨论或阅读教材来自我修正、改进和完善知识结构.结构是通过归纳整理形成全面、系统的新知识结构，提炼数学的思想和方法，是由初级研究成果上升为规律性的东西的必要步骤。
一、 化归设计法
化归是指数学家把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解答的一种手段和方法.教材中几乎所有的公式(包括各种曲线方程)、定理的推导与证明都是化归、演绎的过程，而把探索定理，发现证明的思路作为建筑大厦的脚手架拆除了，把证明中的思想方法作为建筑图纸收在档案中或被抛弃了。因此，在进行公式、定理的研究性教学中，就需要把凝固的东西融化开来，恢复建筑物的设计蓝图，找到数学家的探索足迹。
课例1：研究等比数列前n项和公式
问题情景1：印度王子西拉漠打算奖励国际象棋发明者的故事：用麦粒填
满象棋盘上的所有空格，第1格给1粒米，第2格给2粒米，第3格给4粒米，以下每格给的米粒数要为前一各所给米粒数的2倍，如何求各个格子麦粒总数？
S64＝1＋2＋22＋23＋┄＋263 ①
学生分组讨论解决问题的方法：2S64＝2＋22＋23＋24＋┄＋264 ②
①－② 得S64＝264－1＝1844674407309551215≈4.58×1012立方米
思想方法：方程的思想方法
问题情景1：一般情况下，如何求等比数列前n项和？
学生分组研究： 等比数列前n项和公式的推导
设数列是等比数列，首相a1为，公比为q，求其前n项的和为Sn？
当q＝1时，Sn＝n a1, 只要讨论q≠1时的情况.
问题研究的核心是如何用关于a1 ,q,n (或an)的一个比较简单的式子来
表示项数随n变化而变化的“不定项”的和Sn.
方法1：Sn＝ a1＋a1q＋a1q2＋┄＋a1qn－1
qSn＝ a1q＋a1q2＋a1q3＋┄＋a1qn
(1－q) Sn＝ a1－a1qn ∵q≠1 ∴Sn＝
错位相消，项数由多“变”少，前一项“变”为后一项
方法2：Sn＝a1＋a2＋a3＋┄＋an＝ a1＋a1q＋a1q2＋┄＋a1qn－1
＝a1＋q(a1＋a1q＋a1q2＋┄＋a1qn－2)
＝a1＋q(Sn－a1qn－1)＝a1＋qSn－a1qn
(1－q) Sn＝ a1（1－qn） ∵q≠1 ∴Sn＝
思想方法：方程方法
方法3：Sn＝a1＋a2＋a3＋┄＋an＝a1＋a1q＋a2q＋┄＋an－1q
＝a1＋q(a1＋a2q＋┄＋an－1q)＝a1＋q Sn－anq
(1－q) Sn＝ a1（1－qn） ∵q≠1 ∴Sn＝
思想方法：递推方法
方法4：q＝ ＝ ＝┄＝ ＝ =
q(Sn－an)＝Sn－a1 (1－q) Sn＝ a1－an q
∵q≠1 ∴Sn＝
二、 类比设计法
类比的方法是异中求同，反映着差异性中存在的同一性，类比能使我们从已有的结果体系推想新的结果和体系.从方法论的角度来看，类比推理对于探索新的结果是大有好处的.教材中属性相似的内容占有较大的比例，如指数函数与对数函数；四种三角函数及反三角函数；等差数列与等比数列；四种二次曲线；空间几何性质与平面几何性质；三种多面体及四种旋转体系，在进行研究性教学时，可抓住其发生过程的内涵结构、性质以及解决数学问题的数学思想方法等方面的相似性来设计研究性问题.
课例2：研究直角三角形与具有三直三面角的四面体的相似性联系
端点或顶点是零维元素，边或棱是一维元素，面是二维元素，空间部分是三维元素<
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